정역학)관성 모멘트

관성 모멘트에 대해서 알아보자.

1. 면적 관성 모멘트의 정의

2. 면적에 대한 평행축 정리

3. 면적의 회전 반지름

4. 적분에 의한 면적 관성 모멘트

5. 복합 면적의 관성 모멘트

6. 면적의 관성적

7. 질량 관성 모멘트

8. 평형의 안전성

 

1. 면적 관성 모멘트의 정의

적분 시 면적의 2차 모멘트를 면적 관성 모멘트라고 한다. 관성 모멘트라는 말은 실제로 잘못된 명칭이지만 질량 관성 모멘트와 같은 형태의 적분이기에 이런 명칭이 사용된다. 면적 관성 모멘트는 탄성보의 횡단면에 작용하는 수직 응력 또는 단위 면적당 힘과 보의 굽힘을 일으키는 외부에서 가해진 모멘트와 관계식에서 비롯 되었다. 재료역학 이론에 따르면, 보의 응려근 보 단면의 도심 C를 지나는 축거리에 비례한다.

 

2. 면적에 대한 평행축 정리

만일 면적의 도심을 통과하는 축에 관한 면적 관성 모멘트를 알고 있다면, 그 축과 평행한 축에 대한 면적 고나성 모멘트를 구할 때는 평행축 정리를 사용하는 것이 편리하다. 이 정리를 유도하기 위해 x축에  고나한 면적 관성 모멘트를 구하는 것을 생각해 보자. 이 경우에 미소 요소는 도심축과 임의의 거리 만큼 떨어져 잇으며, 평행한 축은 x축과  고정거리 만큼 떨어져 있다.

 

3. 면적의 회전 반지름

평면의 회전 반지름은 구조역학에서 기둥 설게에 자주 사용되며, 단위는 길이이다.

 

4. 적분에 의한 면적 관성 모멘트

평면의 경계가 수학적인 함수로 표현될 수 있다면 모두 적분하여 면적 관성 모멘트를 구할 수 있다. 적분의 면적 요소가 두방향으로 미소 크기를 가지면 이중 적분을 해야 관성 모멘트를 구할 수 있다. 대부분의 경우, 한 방향으로만 미소 크기와 두께를 가진 면적 요소를 선택하여  단일 적분으로 계산하는 것이 쉽다.

 

5. 복합 면적의 관성 모멘트

복합 면적은 반원, 직사각형, 삼각형처럼 도다 단순한 모양의 면적의 조하븡로 이루어진 것이다. 하나의 공통 기준축에 대하여 이러한 부분의 관성 모멘트를 알고 있거나 계산 할 수 있다면, 복합 면적의 관성 모멘트는 복합체를 이루는 모든 부분의 관성 모멘트를 대수적으로 합한 것과 같다.

 

6. 면적의 관성적

일반적으로 면적의 관성 모멘트는 계산되는 기준축에 따라서 다르다. 구조설계나 기계설계 시 단면의 최대, 최소 관성 모멘트를 나타내는 기준축의 방향을 알아야 할 때가 있다. 이 방법을 사용하기 위해서는 x, y축에 대한 관성 모멘트뿐만 아니라 관성적을 먼저 계산해야한다. 고나성 모멘트와 같이 관성적의 단위는 길이의 네제곱이 된다.

 

7. 질량 관성 모멘트

물체의 질량 관성 모멘트는 각가속도에 대한 물체이 저항을 나타내는 물리량이다. 이 것은 동역학에서 회전 운동 해석 시 상용하고 있다. 질량 관성 모멘트는 물체를 이루고 있는 질량의 미소 요소의 기준축에 대한 2차 관성 모멘트의 적분으로 정의된다.

 

8. 평형의 안정성

하나의물체 또는 연결된 물체로 이루어진 계가 평형 상태에 있을 때 경우에 따라서 그 상태의 평형 종류 및 안정성을 검토하는 것이 중요하다. 예를들어, 세 가지의 다른 경로에 놓여 있는 공의 상태를 생각해 보자. 각각의 경우는 공의 평형 상태를 나타낸다. 공이 오목한 곳에 있다고 생각하면 작은 변위를 주어도 원래의 위치인 제일 낮은 위치로 되돌아 오기 때문에 안정 평형이라고 한다. 오목한 곳에서 공의 전체 퍼텐셜 에너지는 최소이다. 공이 평평한 곳에 있을 때 중립 평형 상태이며, 이때는 작은 변위를 평평한 곳 왼쪽이나 오른쪽에 주어도 상태는 변하지 않는다. 즉, 공은 변위된 위치에서 평형 상태에 있으며 퍼텐셜 에너지도 일정하다. 공이 볼록한 곳에 있으면 불안정 평형 상태이다. 이 경우에는 작은 변위를 주면 공의 퍼텐셜 에너지가 감소하게 되며 공은 최초의 위치인 가장 높은 곳에서 멀어져 버린다. 볼록한 곳이 퍼텐셜 에너지가 최대가 된다.