정역학)무게중심과 도심

무게중심과 도심에 대하여 알아보자.

1. 질점계의 무게중심과 질량중심
2. 강체의 무게중심, 질량중심과 도심
3. 복합체
4. 파포스와 굴디누스의 정리
5. 유체 압력
 
1. 질점계의 무게중심과 질량중심

무게중심은 질점계의 모든 무게를 한 점에서 무게로 나타내는 점이다. 무게중심을 정하는 방법을 알아보기 위하여 공간상에 고정된 n개의 질점을 생각해 보기로 한다. 질점의 무게는 평행한 힘계가 되며, 이 힘들은 작용점에서 한개의 대등한 무게로 대치될 수 있다.
 

2. 강체의 무게중심, 질량중심과 도심

무게 중심 : 강체는 무한한 수의 질점들로 이루어져 있다. 강체를 이루는 질점계에 적용하기 위해서는 단순한 합보다는 적분을 이용해야 한다.
 
질량 중심 : 단위 체적당 질량으로 정의되는 밀도와 비중과의 관계이며 이로 인해 질량 중심을 구하는 식을 얻을 수 있다.
 
도심 : 물체의 기하하적 중심을 말한다. 도심은 무게중심이 나 질량중심을 구하는 식과 유사한 식으로 구할 수 있다. 특히 물체를 이루고 있는 재질이 전체적으로 균일한 경우, 밀도나 비중은 물체의 전체적으로 일정하며 적분 바깥으로 나와 분모 , 분자에서 서로 소거된다. 결국 물체의 도심을 정하는 식을 물체의 형상에만 의존할 뿐 물체의 무게와는 무관하다.

 
3. 복합체

삼각형, 사각형, 반원 등의 간단한 형상들로 결합되어 있다. 이러한 복합체는 각 부분으로 분할될 수 있으며, 분할된 부분의 무게 및 무게중심을 알면 복합체의 무게중심을 구하기 위하여 적분을 행할 필요가 없다.
 

4. 파포스와 굴디누스의 정리

파포스와 굴디누스의 두 정리는 임의의 회전체의 표면적과 체적을 구하는 데 사용된다. 처음으로 알렉산드리아의 파포스에 의하여 창안되었고, 그 후 스위스 수학자 굴디누스에 의하여 재적립 되었다. 회전체의 표면적은 임의의 평면 곡선을 교차하지 안흔 고정축을 중심으로 회전 시킬 때 형성되며, 회전체의 체적은 임의의 평면 면적을 교차하지 않는 고정축에 대하여 회전시킬 때 형성된다. 여기에서는 피회전 곡선과 면적이 회전축과 교차하지 않아야 한다. 그러지 않으면, 축의 양쪽에 있는 면적이나 체적이 부호가 서로 상반되어 상쇄되기 때문이다.
 

5. 유체 압력

파스칼의 법칙에 의하면, 전지된 유체 내 한점에서의 압력의 크기는 모든 방향으로 일정하다. 압력의 크기는 유체의 비중 또는 밀도 및 유체 표면으로부터 깊이에 의하여 결정된다. 대부분의 유체에 해당하는 비압축성 유체에만 적용할 수 있는 관계식이다. 기체는 압축성 유체이며 밀도가 압력 및 온도에 현저하게 영향을 받으므로 적용할 수 없다.