정역학)힘 벡터

힘과 벡터에 대해서 알아보자.

1. 스칼라와 벡터

2. 벡터 연산

3. 힘의 벡터 합

4. 동일 평면에 작용하는 힘들의 합

5. 직교 벡터

6. 직교 벡터의 덧셈과 뺄셈

7. 위치 벡터

8. 벡터의 내적



1. 스칼라와 벡터

역학의 경우 대부분 물리량들은 스칼라와 벡터에 의하여 수학적으로 표현된다.

 

스칼라 : 양수 또는 음수에 의하여 규정되는 양이다. 예를 들어 질량, 부피 및 길이는 정역학에서 종종 사용되는 양들이다.

벡터 : 크기와 방향을 모두 갖는 양이다. 정역학에서 종종 마주치는 벡터량은 위치, 힘 및 모멘트이다. 손으로 나타낼 때는 A 위에 화살표를 나타낸다. 벡터의 크기는 화살표의 길이로, 방향은 기준 축과 화살표의 작용방향선 사이 각도로, 그리고 자굥방향은 화살표 머리로 지시한다.

2. 벡터 연산

스칼라에 의한 벡터의 곱셈과 나눗셈 : 벡터 A와 스칼라 a의 적은 aA로 산출되며, 크기는 절댓값 aA를 갖는 벡터로 정의된다. aA의 작용 방향은 a가 양일 경우에는  A의 작용 방향과 동일하다. 만일 a가 음이면 A의 반대 방향이다. 특별히, 음의 벡터는 벡터에 스칼라(-1)을 곱함으로써 얻어진다. 

벡터의 합 : 두벡터 A와 B는 평행 변형 법칙을 이용하여 더함으로써 합 벡터 R=A+B를 구할 수 있다. 합은 두 벡터의 꼬리를 연결 시킨다. 각 벡터의 머리 부분으로부터 상대 벡터의 방향과 평행선을 그으면 한 점에서 만나고, 따라서 평행사변형의 이웃 변을 이룬다. 또한 삼각형 작도를 사용하여 B 벡터에 A 벡터를 더할 수 있다. 이는 평행사변형 법칙의 특별한 경우로서이 방법은 A 벡터에 B 벡터를 더하는, 이른바 머리-꼬리 연결 유형이다. 서로의 벡터는 자리를 변경할 수 있으며 B+A=A+B=R이 성립된다. 특별한 경우로서, 만일 두 개의 벡터 A,B가 동일 직선상에 있으면, 즉 두 개의 벡터 모두 동일한 작용선을 갖고 있다면, 평행사변형 법칙은 두 벡터의 크기를 더해주면 된다.

벡터의 뺄셈 : 동일한 유형의 두 벡터 A와 B간의 합성된 차는 R=A-B=A+(-B) 이다.

벡터의 분해 : 하나의 벡터는 평행사변형 법칙을 이용하여 정해진 작용선을 따라 성분으로 분해할 수 있다. a와b의 성분으로 분해하려면 R의 머리에서 시작하여 b선과 만날 때까지 a선과 평행한 선을 긋는다.

3. 힘의 벡터 합

힘의 특정한 크기, 방향 및 작용 방향을 가진 벡터량으로서 평행사변형 법칙에 의하여 합할 수 있다는 것을 알고 있다. 정역학의 문제는 대개 알고 있는 성분으로부터 힘의 합력을 구한다든지, 또는 알고 있는 힘을 두 개 의 성분으로 분해한다든지의 두 가지 경우에 속한다. 세 개 이상의 힘이 합성될 때 합력을 구하기 위해서는 평행사변형 법칙을 연이어 계속 적용하면 된다. F1,F2,F3의 힘이 있다면 F= F1+F2+F3으로 구할 수 있다. 두 개 이상의 힘에 대한 합력을 구하기 위해 평행사변형 법칙을 쓰는 경우, 합력의 크기와 방향의 수치를 구하기 위해서는 많은 양의 기하학 및 삼각법 계산을 해야 한다.

4. 동일 평면에 작용하는 힘들의 합

세 개 이상의 힘들 합력을 구하려면, 주어진 축에 따라 각 힘의 성분을 찾고 대수적으로 이들을 합하여 합력을 구하는 것이, 평행사변형법칙의 연속적 적용에 의해 힘의 합력을 구하는 방법보다 쉽다.

x,y축 방향으로 각각 직교 성분을 분해하여 더하면 쉽게 구할 수 있다.

스칼라 표기법 : x축과 y축은 양과 음의 방향을 가리키므로, 힘의 직교 성분의 크기와 작용방향은 대수적 스칼라로 나타낼 수 있다. 양과 음의 스칼라 표시는 오직 계산의 목적으로 쓰이는 것이며, 그림 안의 도시적인 표시에는 사용하지 않음에 주의한다. 어디서든 벡터화살의 머리가 벡터의 방향을 도시적으로 나타내며 이 목적으로는 대수적 부호를 사용하지 않는다.

직교 벡터 표기법 : 힘의 성분을 나타내는 또 하나의 방법에는 직교 단위 벡터로 표시하는 방법이 있다.

동일 평면에 작용하는 힘의 합력 : 위 두 가지 방법 중 어느 것이나 몇 개의 동일 평면에 작용하는 힘의 합력을 구하는 데 사용할 수 있다. 이를 위해 각 힘들은 우선 x,y성분으로 분해되고, 각각의 성분은 동일선상에 있기 때문에 스칼라 대수적으로 더한다. 그런 다음 평행사변형 법칙을 사용하여 x및y 성분을 더하여 합을 구한다.

5. 직교 벡터

3차원 공간에서 벡터 연산은 우선 각각의 벡터들을 직교 벡터로 표시하면 상당히 간단해진다. 

오른손 좌표계 : 직교 좌표계는 오른손 엄지손가락이 양의 z방향으로 향하고 나머지 오른손 손가락들은 이 축을 중심으로 x축 방향으로부터 양의 y축 방향으로 감아쥐게 될 때 오른손 좌표계라고 한다.

벡터의 직교 성분 : 벡터 A는 그 벡터가 x,y,z 좌표축에 대하여 상대적으로 어떠한 방향으로 향하고 있는지에 따라서 하나, 둘 호은 세 개의 직교 성분을 갖는다. 이 역시 평행사변형 법칙으로 합이 표현된다.

단위 벡터 : A의 방향은 단위 벡터를 사용하여 나타낼 수 있다. 이 벡터는 크기가 1이기 때문에 단위 벡터로 명명되었다. 단위 벡터는 또한 무차원이 된다. 그리고 무차원 벡터는 A의 작용방향으로 정의한다.

직교 벡터의 크기 : A는 루트 (Ax^2+Ay^2+Az^2)으로 나타낼 수 있다.

6. 직교 벡터의 덧셈과 뺄셈

벡터를 직교 벡터로 표시하면 둘 또는 그 이상의 벡터의 덧셈과 뺼셈을 간단히 수행할 수 있다.

공점력계 : 여러 개의 힘이 한점에 작용하는 공점력계에 적용한다면, 힘의 합력계는 내 모든 힘의 벡터 합으로 구할 수 있다.

7. 위치 벡터

위치 벡터는 공간상 두 점 사이에 작용하는 직교 힘 벡터를 유도하는 데 중요함을 보일 것이다. 힘의 모멘트를 구하는데 위치 벡터를 사용하게 된다.

x,y,z 좌표 : 어떤 물체의 높이나 한 점의 고도를 표시할 때 위쪽 방향을 양의 z축으로 정의한다. x,y축은 수평면상에 놓이게 된다. 공간상의 점은 좌표축의 원점 O에 대해 상대적으로 x,y,z축을 따라 연속적으로 측정함으로써 그 위치를 나타낼 수 있다.

위치 벡터 ; 공간상의 한 점이 위치를 다른 점에 대한 상대위치로 나타내는 고정 벡터이다. 

8. 벡터의 내적

정역학에서 종종 두 직선 사이의 각도를 구하거나 힘의 한 선에 평행한 성분과 수직인 성분을 구해야 할 때가 있다. 2차원 문제의 경우 이러한 문제들은 기하학적으로 쉽게 도시할 수 있으므로 삼각법을 이용하여 쉽게 풀 수 있다. 그러나 3차원의 경우에는 도시가 어려우므로 해를 구하기 위해서는 벡터를 이용해야 한다. 이러한 문제를 풀기 위해 두 벡터의 곱을 표현하는 특별한 방법으로 내적을 정의하여 사용한다.